圖書信息
內容簡介
對 arXiv math.NA 分類的年度綜述，涵蓋 2025 年 9 月 至 2026 年 8 月 期間發表的研究。本卷基於對 144 篇論文 的細讀整理，組織為 40 章，按該領域的研究子方向描繪這一年的全貌。
全書框架（年度產出佔比）：
- 有限元與譜方法偏微分方程求解器 (48.9%) — 利用有限元與譜方法，為線性與非線性偏微分方程發展高階、保結構與自適應離散格式。
- 機器學習與代理偏微分方程求解器 (33.2%) — 整合神經網絡、代理建模與 GPU 加速算法，高效求解並優化複雜微分方程與工程仿真。
- 稀疏矩陣與量子線性代數 (3.8%) — 聚焦稀疏矩陣運算、特徵值問題、預處理與量子啟發式線性代數技術的高效算法。
- 多尺度與多物理場流動仿真 (3.8%) — 處理跨尺度與跨材料的流體動力學、波動傳播與耦合多物理場系統仿真的數值挑戰。
- 隨機與蒙特卡洛方法 (3.0%) — 應用隨機微分方程求解器、蒙特卡洛採樣與概率技術，模擬隨機過程與粒子輸運。
- 保結構與反問題 (2.6%) — 發展保持守恆律與熵等物理結構的數值方法，同時處理反問題與重建任務。
- 積分方程與參數估計 (2.4%) — 利用積分變換、核方法與變分框架求解積分方程並估計複雜系統中的參數。
- 時間積分與動力系統 (1.3%) — 為剛性問題、約束優化與長期動力系統演化設計顯式、隱式與混合時間步進格式。
- 幾何與電磁數值方法 (0.4%) — 探索幾何流形上的數值方法、電磁場離散化，以及聚類上的平均場博弈視角。
- 自適應網格細化與精度 (0.3%) — 通過自適應網格細化策略、誤差分析與優化離散格式，提升計算效率與精度。
- 最優控制與優化理論 (0.2%) — 研究最優控制問題的數值算法，包括量子控制、魯棒控制與巴拿赫空間上的優化。
- 專用數值工具與應用 (0.0%) — 涵蓋電路模型與通信系統等特定應用的細分數值工具，代表一小類專門研究。
每個子方向均通過三章展開論述——它如何提出自己的問題、其關鍵結論的強度，以及它開放的爭論與前沿，從而讓讀者獲得該領域今年實際產出的可溯源圖景。
