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内容简介

对 arXiv math.AP 分类的年度综述，涵盖 2025 年 9 月至 2026 年 8 月期间发表的研究。本卷基于对 100 篇论文 的细读整理，组织为 36 章，按该领域的研究子方向描绘这一年的全貌。

全书框架（年度产出占比）：

椭圆边值问题的存在性与正则性 (72.5%) — 本聚类聚焦证明带边界条件的椭圆与抛物偏微分方程解的存在性、唯一性与正则性，包括索伯列夫空间估计及对非线性薛定谔与 KdV 型方程的应用。
流体动力学与耦合系统的整体适定性 (11.9%) — 本聚类研究不可压与可压缩流体方程（包括纳维-斯托克斯、欧拉及带表面相互作用的耦合多物理系统）解的整体适定性、有限时间爆破与渐近行为。
色散与热方程的镇定与渐近行为 (8.2%) — 本聚类研究线性与半线性波、热与色散方程解的稳定性、衰减率与长期渐近行为，包括随机扰动与反问题。
双曲守恒律与几何流 (2.2%) — 本聚类处理标量守恒律、双曲系统与几何流，包括曲率驱动动力学、指定平均曲率问题与数值近似格式。
偏微分方程理论中的变分方法与最优输运 (2.1%) — 本聚类发展偏微分方程的变分形式、最优输运理论与能量方法，包括梯度流、控制问题与几何测度论应用。
非线性薛定谔方程与色散动力学 (2.0%) — 本聚类聚焦非线性薛定谔方程的适定性、爆破与长期动力学，包括可积系统、孤子与哈密顿结构。
非线性偏微分方程中的对称性与自相似解 (0.7%) — 本聚类考察波映射、反应扩散系统及相关带对称约束的非线性偏微分方程的对称解、自相似轮廓与爆破稳定性。
复杂物理系统的解析与数学建模 (0.4%) — 本聚类处理生物学、物理学与工程中模型的严格数学分析，包括解析性、适定性与有效方程的推导。